Mesurer en années l'âge d'une roche, d'une lave ou d'un reste d'être vivant. Le système s'est fermé un jour, et il a enfermé des éléments radioactifs. Les quantités mesurées aujourd'hui donnent le temps écoulé depuis cette fermeture.
Comment un minéral enregistre-t-il le temps écoulé depuis sa cristallisation ?
La datation relative ordonne les événements les uns par rapport aux autres. Elle ne donne aucun âge en années. La radiochronologie mesure cet âge. Elle repose sur une propriété des éléments radioactifs : leur désintégration est continue et irréversible.
Un atome père radioactif se désintègre en un atome fils stable, en émettant une particule énergétique. Le nombre d'atomes pères diminue donc au cours du temps, et le nombre d'atomes fils augmente d'autant. La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des atomes pères présents s'est désintégrée. On la note T. Elle est caractéristique de l'élément radioactif. Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression.
Cette horloge ne compte qu'à une condition : rien ne doit entrer ni sortir. Le système doit être fermé. Pour une roche magmatique, la fermeture correspond à la cristallisation. La température descend sous un certain seuil, et les échanges entre le minéral et le milieu environnant cessent. L'âge mesuré est donc toujours celui de la fermeture du système, et non celui de l'élément radioactif lui-même.
La demi-vie décrit le système à des instants particuliers : une demi-vie, deux demi-vies, trois demi-vies. Elle ne dit rien de ce qui se passe entre ces instants. Or la désintégration n'attend pas. Une seconde grandeur décrit le phénomène à chaque instant : la constante de désintégration, notée λ. On l'appelle aussi constante radioactive.
Un échantillon contient P atomes pères. Pendant une courte durée, le nombre de désintégrations est proportionnel à P. Le coefficient de proportionnalité est λ. La constante de désintégration est donc la fraction des atomes pères présents qui se désintègre par unité de temps. Cette fraction ne change pas au cours du temps. Le nombre de désintégrations, lui, diminue : les atomes pères sont de moins en moins nombreux. Cela se lit sur le graphique de la figure. La courbe rouge descend vite au début, puis de plus en plus lentement.
Une fraction par unité de temps est l'inverse d'une durée. La constante de désintégration s'exprime donc en an-1, ou en s-1.
Aucun atome ne porte de date de désintégration. Le phénomène est aléatoire. Pendant une courte durée Δt, la probabilité qu'un atome père donné se désintègre vaut λ × Δt. La constante de désintégration n'est donc pas une probabilité : c'est une probabilité par unité de temps.
Cette probabilité ne dépend pas du passé de l'atome. Un atome de 87Rb enfermé dans un cristal depuis un milliard d'années a la même probabilité de se désintégrer cette année qu'un atome formé hier. Un atome radioactif ne vieillit pas. La demi-vie n'est donc pas la durée de vie d'un atome. C'est la durée au bout de laquelle la moitié des atomes pères d'un échantillon s'est désintégrée.
Les deux grandeurs décrivent la même loi. Elles se déduisent l'une de l'autre. Au bout de la durée T, la moitié des atomes pères a disparu, par définition de la demi-vie. Cette condition impose la relation suivante.
λ = ln 2 / T et T = ln 2 / λ (ln 2 ≈ 0,693)La relation est inverse. Un élément de grande constante se désintègre vite : sa demi-vie est courte. Un élément de petite constante se désintègre lentement : sa demi-vie est longue. Deux exemples encadrent les valeurs utilisées en géologie. Le 87Rb a une constante de 1,42.10-11 an-1. Sur mille milliards d'atomes de 87Rb, 14 se désintègrent en moyenne chaque année, et la demi-vie vaut 48,8 milliards d'années. Le 14C a une constante de 1,21.10-4 an-1. Sur un million d'atomes de 14C, 121 se désintègrent en moyenne chaque année, et la demi-vie vaut 5 730 ans.
Le système est fermé. Chaque atome père disparu a donc laissé un atome fils dans le minéral. Le nombre d'atomes pères de départ se retrouve ainsi par une somme.
P0 = P + FP est le nombre d'atomes pères mesuré aujourd'hui. F est le nombre d'atomes fils radiogéniques mesuré aujourd'hui. La loi de décroissance donne alors le temps écoulé depuis la fermeture du système.
t = ln(P0 / P) / λ soit t = ln(1 + F/P) / λSeul le rapport F/P intervient. Il n'est donc pas nécessaire de connaître la masse de l'échantillon analysé. La dernière étape de la figure donne un exemple. Le cristal contient alors 8 atomes pères et 56 atomes fils, soit F/P = 7. L'âge vaut ln 8 / λ, c'est-à-dire trois demi-vies, ce que la lecture graphique donnait déjà.
Ce calcul est celui que demande l'épreuve pratique. La formule et la constante de désintégration sont fournies. La calculatrice fait le reste.
Le programme ne demande pas d'établir la loi de décroissance, mais de l'utiliser, comme ci-dessus. Voici d'où elle vient.
dP/dt = - λ PLa vitesse de désintégration à l'instant t est proportionnelle au nombre P d'atomes pères encore présents. La constante de désintégration est le coefficient de proportionnalité. Résoudre cette équation donne le nombre d'atomes pères au cours du temps.
P = P0 e-λtLa relation entre λ et T se démontre à partir de cette expression. Au bout de la durée T, il reste la moitié des atomes pères de départ.
e-λT = 1/2 donc λT = ln 2L'inverse de la constante est lui aussi une durée. 1/λ est la durée de vie moyenne d'un atome père, notée τ. La demi-vie en est proche, sans lui être égale : T = τ ln 2, soit environ 0,693 τ.
En mathématiques, cette loi est celle d'une évolution à taux constant. En temps continu, elle s'écrit avec la fonction exponentielle. En temps discret, le nombre d'atomes pères d'une année sur l'autre forme une suite géométrique de raison e-λ.
Le cours détaillé de la Radiothèque reprend ce calcul pour chaque chronomètre.
Comment l'âge présumé et la composition minéralogique de la roche commandent-ils le choix du couple père-fils ?
Plusieurs couples père-fils sont utilisés en géologie. Ils se distinguent par la demi-vie de l'élément père. Un chronomètre n'est utile que dans un domaine d'âges. L'élément fils doit être déjà mesurable, et l'élément père ne doit pas être épuisé. Un couple de demi-vie courte convient donc aux objets récents, un couple de demi-vie longue aux objets anciens. L'âge présumé, souvent connu par la chronologie relative, opère ainsi un premier tri.
Ce premier tri laisse en général plusieurs couples possibles. Un second critère les départage. L'élément père doit être présent dans les minéraux de la roche. Or un élément n'entre dans un réseau cristallin qu'en se substituant à un élément de propriétés chimiques voisines. Le rubidium se substitue au potassium. Le strontium se substitue au calcium. L'uranium se substitue au zirconium. Le potassium, lui, n'a pas à se substituer. L'orthose et la biotite sont des minéraux riches en potassium.
La composition minéralogique de la roche, et donc sa composition chimique, décide alors du chronomètre utilisable. Cette composition se lit sur une lame mince observée au microscope polarisant. Un granite contient de l'orthose, du plagioclase, de la biotite, du quartz et de petits zircons. Chacun de ces minéraux a une composition chimique connue. Les substitutions possibles s'en déduisent. Le quartz, de formule SiO2, ne contient ni potassium, ni calcium, ni zirconium : il n'autorise aucune de ces substitutions.
| Couple père → fils | Demi-vie T | Constante λ (an-1) | Présence de l'élément père | Ce que l'on date |
|---|---|---|---|---|
| 87Rb → 87Sr | 48,8 Ga | 1,42.10-11 | le Rb se substitue au K (biotite, orthose) ; le Sr, élément fils, se substitue au Ca (plagioclase) | roches magmatiques et métamorphiques anciennes |
| 40K → 40Ar | 1,25 Ga | 5,543.10-10 | de nombreux silicates sont riches en K (biotite, orthose) ; l'argon, gaz, s'échappe du magma liquide, donc 40Ar0 = 0 | laves et roches volcaniques |
| 238U → 206Pb 235U → 207Pb |
4,47 Ga 704 Ma |
1,55125.10-10 9,8485.10-10 |
l'U se substitue au Zr (zircon) | les roches les plus anciennes |
| 14C → 14N | 5 730 ans | 1,21.10-4 | le 14C est un atome de la matière organique elle-même | restes d'êtres vivants : la fermeture est ici la mort de l'organisme |
Le programme limite l'étude de la chronologie absolue aux roches magmatiques, pour lesquelles la fermeture est due à l'abaissement de la température. Le carbone 14 est cité ici comme second exemple de fermeture : la mort de l'organisme. Il n'est pas un objet d'étude de ce thème.
Pourquoi faut-il plusieurs minéraux d'une même roche pour appliquer cette méthode, et comment la pente de la droite obtenue donne-t-elle l'âge ?
Le 87Rb se désintègre en 87Sr. Deux difficultés interdisent d'appliquer directement la loi de décroissance à un minéral isolé.
Deux choix lèvent ces difficultés. D'abord, les deux quantités sont rapportées à un isotope de référence, le 86Sr, qui est stable et non radiogénique. Ensuite, on mesure plusieurs minéraux de la même roche. Ces minéraux ont cristallisé en même temps, à partir du même magma : ils sont cogénétiques. Ils avaient donc tous le même rapport 87Sr/86Sr initial, mais des teneurs en rubidium différentes.
| Pente a | 0,0035 | 0,0042 | 0,0049 | 0,0056 |
|---|---|---|---|---|
| Âge | 246 Ma | 295 Ma | 344 Ma | 393 Ma |
Le 87Sr mesuré aujourd'hui dans un minéral a deux origines. Une part était déjà présente à la fermeture du système. L'autre part provient de la désintégration du 87Rb. Les deux quantités sont rapportées au 86Sr, dont le nombre d'atomes ne change pas. L'équation de la droite isochrone s'écrit alors ainsi.
87Sr/86Sr = (eλt - 1) × 87Rb/86Sr + (87Sr/86Sr)0C'est l'équation d'une droite. Son ordonnée à l'origine est le rapport initial, commun aux minéraux cogénétiques. Sa pente ne dépend que du temps écoulé depuis la fermeture du système.
a = eλt - 1Cette relation s'inverse. L'âge se calcule donc directement à partir de la pente, avec la constante de désintégration du 87Rb.
t = ln(a + 1) / λ avec λ = 1,42.10-11 an-1Les points mesurés ne sont jamais parfaitement alignés. Les mesures ont une incertitude, et les points s'en écartent un peu. La droite retenue est donc la droite de régression linéaire de ces points, celle qui les ajuste au mieux. C'est sa pente qui donne l'âge.
La pente s'obtient de deux façons, qui n'ont pas la même précision. La première est celle des travaux pratiques et de l'épreuve pratique. Les mesures sont saisies dans un tableur, qui trace le nuage de points et sa droite de régression linéaire. Le tableur affiche l'équation de cette droite. Il suffit d'augmenter le nombre de décimales pour lire la pente aussi précisément qu'on le veut : elle vaut ici 0,004868. La formule t = ln(a + 1) / λ donne alors 3,42.108 ans, soit 342 millions d'années. La formule et la constante de désintégration sont fournies au candidat, et le calcul se fait dans le tableur ou à la calculatrice. Aucune table de conversion n'est utile.
La seconde façon est celle du devoir sans calculatrice. Le graphique est fourni déjà tracé, et la pente se lit dessus, comme sur la figure ci-dessus : elle vaut 0,0049. La lecture est nécessairement arrondie. C'est ici que sert la table de conversion placée sous la figure : elle donne directement l'âge correspondant, environ 344 millions d'années. Les deux valeurs diffèrent de 2 millions d'années, soit moins de 1 %. Cet écart vient du seul arrondi de la lecture graphique. Le cours détaillé de la Radiothèque conduit ce calcul pas à pas.
Jeu de démonstration à cinq minéraux cogénétiques, engendré pour la Radiothèque afin de vérifier le tracé de l'isochrone et le calcul de l'âge. Il ne correspond à aucun affleurement réel, et les valeurs ne sont pas des mesures.Comment deux chronomètres logés dans le même minéral permettent-ils de savoir si le système est resté fermé ?
Le zircon (ZrSiO4) est un silicate de zirconium. Il incorpore un peu d'uranium, qui se substitue au zirconium lors de sa formation. Il résiste très bien à l'altération, et il reste solide à des pressions et à des températures élevées. Un magma peut donc reprendre des zircons formés bien avant lui, sans les détruire.
Deux couples coexistent dans le même minéral. Le 238U donne du 206Pb, avec une demi-vie de 4,47 milliards d'années. Le 235U donne du 207Pb, avec une demi-vie de 704 millions d'années. Ces deux horloges tournent à des vitesses très différentes dans le même cristal. Les comparer renseigne sur l'histoire du système.
Le calcul de l'âge est le même que dans la première partie. Le rapport du fils radiogénique sur le père restant ne dépend que du temps écoulé depuis la fermeture du système. Chacun des deux couples de l'uranium suit donc sa propre équation, avec sa propre constante de désintégration.
206Pb/238U = eλ238t - 1 207Pb/235U = eλ235t - 1Pour un âge t donné, ces deux formules donnent un couple de rapports, donc un point du graphique. L'ensemble de ces points forme la concordia. Chaque point de cette courbe porte ainsi un âge, et la courbe est graduée en âges.
La concordia ne se mesure pas : elle se calcule. Les deux constantes de désintégration suffisent à la tracer. Elle ne dépend donc ni de la roche étudiée, ni de ses minéraux, ni de leur nombre. La même courbe sert pour tous les échantillons. Seule son étendue change d'un objet à l'autre : on la trace sur un intervalle d'âges qui encadre l'âge présumé de l'échantillon.
Un minéral dont le système est resté fermé depuis sa cristallisation se place sur cette courbe. Ses deux chronomètres donnent alors le même âge : ils sont concordants. Reporter les rapports mesurés sur le graphique revient donc à poser une question : le système est-il resté fermé ? La réponse commande la suite du traitement, et elle sépare deux cas.
Aucun minéral n'a perdu de plomb. Le système est resté fermé, et aucune réouverture n'a eu lieu. L'âge se lit alors directement sur la graduation de la courbe, à l'endroit où se place le point. Aucune construction n'est nécessaire. Le calcul donne la même valeur, à partir d'un seul rapport mesuré.
t = ln(1 + 206Pb/238U) / λ238 avec λ238 = 1,55125.10-10 an-1Les points concordants ne se superposent pas toujours. Un magma peut reprendre des zircons cristallisés bien avant lui, et ces zircons hérités portent leur propre âge. Le point le plus avancé sur la courbe est alors le plus ancien. C'est lui qui donne l'âge de la cristallisation la plus ancienne enregistrée par l'échantillon.
Un épisode thermique a rouvert le système, et les minéraux ont perdu une part de leur plomb. Leurs deux chronomètres ne donnent plus le même âge apparent, et leurs points passent sous la courbe. Aucun de ces âges apparents n'a de sens à lui seul.
Les minéraux d'une même roche ont subi la même histoire, mais chacun a perdu une part différente de son plomb. Leurs points s'alignent donc sur une droite, la discordia. On trace cette droite, puis on cherche ses deux intersections avec la concordia. Ces deux points se lisent sur la graduation de la courbe, qui porte des temps écoulés depuis aujourd'hui. L'intercept supérieur donne le temps écoulé depuis la cristallisation. L'intercept inférieur donne le temps écoulé depuis la réouverture du système. Il ne donne pas la durée qui sépare la cristallisation de la réouverture.
La figure illustre ce second cas. La discordia des quatre zircons coupe la concordia à 2,04 milliards d'années et à 513 millions d'années. Le zircon 4 est resté fermé, et il se place sur la concordia à l'intercept supérieur. Le zircon 1 a perdu la totalité de son plomb lors de la réouverture : son horloge est repartie de zéro, et il se place sur la concordia à l'intercept inférieur. Son rapport 206Pb/238U vaut 0,0830, ce qui donne bien ln(1,0830) divisé par 1,55125.10-10, soit 5,1.108 ans.
Un même cristal enregistre donc deux événements, et la discordia donne le temps écoulé depuis chacun d'eux. Aucune autre méthode ne le fait à partir d'un seul minéral. C'est là l'intérêt du couple U/Pb : deux chronomètres de vitesses très différentes coexistent dans un cristal qui résiste à l'altération.
Jeu de démonstration à quatre points, construit pour la Radiothèque afin de vérifier le tracé de la discordia et le calcul des intercepts. Il ne correspond à aucun affleurement réel, et les valeurs ne sont pas des mesures.Pourquoi la quantité initiale d'élément fils est-elle connue dans une roche volcanique, et comment un seul minéral suffit-il alors à la dater ?
Le potassium est un élément abondant des roches magmatiques. Il entre dans la composition des feldspaths et des micas. L'un de ses isotopes, le 40K, est radioactif. Il se désintègre selon deux voies. Environ 10,5 % des atomes donnent de l'argon 40, et environ 89,5 % donnent du calcium 40. Chaque voie a sa propre constante de désintégration. Leur somme vaut 5,543.10-10 an-1, ce qui correspond à une demi-vie de 1,25 milliard d'années.
C'est la voie de l'argon qui sert à dater. L'argon est un gaz noble. Il ne forme aucune liaison chimique et n'entre dans aucun réseau cristallin. Dans un magma liquide, l'argon produit s'échappe donc vers l'atmosphère. À la cristallisation, les minéraux potassiques ne contiennent aucun argon. La quantité initiale d'élément fils est nulle.
Le 40K disparaît par ses deux voies à la fois. La décroissance du père suit donc la constante totale λ. L'argon, lui, ne recueille qu'une part des atomes disparus. La formule tient compte de ces deux faits.
t = ln[ 1 + (40Ar/40K) × (λ / λAr) ] / λλ est la constante totale du 40K, égale à 5,543.10-10 an-1. λAr est celle de la seule voie de l'argon, égale à 5,81.10-11 an-1. Leur rapport vaut 9,54. Ce facteur corrige le fait que dix atomes de potassium disparus ne donnent qu'un atome d'argon environ.
La lave de Sangiran donne un rapport 40Ar/40K de 4,44.10-5. Le produit par 9,54 vaut 4,24.10-4. Le logarithme de 1,000424 divisé par 5,543.10-10 donne 7,64.105 ans. L'éruption a donc eu lieu il y a environ 764 000 ans.
Comment la mort d'un organisme ferme-t-elle un système, et jusqu'à quel âge ce chronomètre reste-t-il utilisable ?
Le carbone possède trois isotopes. Le 12C et le 13C sont stables. Le 14C est radioactif. Il se désintègre en 14N, avec une demi-vie de 5 730 ans. Cette demi-vie est très courte à l'échelle géologique. Tout le 14C présent à la formation de la Terre a donc disparu depuis longtemps.
Il en reste pourtant dans l'atmosphère. Le rayonnement cosmique produit en permanence du 14C dans la haute atmosphère, à partir de l'azote. Ce carbone s'intègre au dioxyde de carbone atmosphérique. La production et la désintégration s'équilibrent, et la proportion de 14C reste à peu près constante.
Un être vivant échange du carbone avec son milieu. Un végétal en prélève par la photosynthèse, un animal par son alimentation. La proportion de 14C de ses tissus reste donc celle de l'atmosphère tant qu'il vit. À sa mort, les échanges cessent. Le système est fermé. Le 14C n'est plus renouvelé, et sa quantité diminue.
L'activité d'un échantillon est le nombre de désintégrations par unité de temps. Elle vaut A = λN, où N est le nombre d'atomes de 14C. L'activité est donc proportionnelle au nombre d'atomes pères. Mesurer le rapport des activités revient à mesurer le rapport des quantités de 14C.
t = ln(A0 / A) / λ avec λ = 1,21.10-4 an-1A0 est l'activité d'un carbone vivant, prise égale à 13,56 désintégrations par minute et par gramme. A est l'activité mesurée sur l'échantillon. Pour les charbons de Chauvet, A vaut 0,2224. Le rapport A0/A vaut 61,0. Son logarithme, 4,11, divisé par 1,21.10-4, donne 3,4.104 ans.
Cette méthode a une limite haute. Au bout de dix demi-vies, soit 57 300 ans, il ne reste qu'un millième du 14C initial. L'activité résiduelle devient alors trop faible pour être mesurée avec une incertitude acceptable. Le carbone 14 ne date donc que les cinquante derniers milliers d'années.
Le programme de terminale limite la chronologie absolue aux roches magmatiques. Le carbone 14 figure ici comme second exemple de fermeture de système, la mort de l'organisme, et parce que le calcul d'âge y est le même que pour les autres chronomètres. Il est étudié pour lui-même en enseignement scientifique de première.
Activité des charbons des peintures de la grotte Chauvet-Pont d'Arc : 0,2224 désintégration par minute et par gramme de carbone, soit 1,64 % de l'activité d'un carbone vivant, d'après H. Valladas, N. Tisnérat-Laborde, H. Cachier et al., 2005, Bilan des datations carbone 14 effectuées sur des charbons de bois de la grotte Chauvet, Bulletin de la Société préhistorique française 102-1, 109-113. Échantillon « Charbons des peintures de la grotte Chauvet » de la Radiothèque. Fourchette calibrée d'après A. Quiles, H. Valladas, H. Bocherens et al., 2016, A high-precision chronological model for the decorated Upper Paleolithic cave of Chauvet-Pont d'Arc, Ardèche, France, PNAS 113-17, 4670-4675.